# Definición formal de límite

## Definición formal de límite de funciones continuas

Observa los siguientes tres ejemplos de funciones continuas y cómo se define \(\delta\) para cada uno de ellos. En los tres casos puedes ver la expresión analítica de la función, que tiene tres parámetros: a, b y c. Observa los cambios en la gráfica de la función al variar estos parámetros y los cambios en las barras determinadas por los intervalos \([x_0+\delta, x_0-\delta]\) y \([(f(x_0)+\varepsilon, (f(x_0)-\varepsilon]\) al modificar a, b, c y epsilon.

En la primera escena interactiva, mueve \(x_0\) hacia el vértice de la parábola y ajusta \(\varepsilon\) de tal manera que \(f(x_0)-\varepsilon\) esté definido.
Observa que conforme \(x_0\) se aproxima al vértice de la parábola, \(\varepsilon\) tendría que hacerse cada vez más pequeño. Si se deja fijo, llega un momento en que \(f(x_0)-\varepsilon\) no está definido, lo cual implica que \(x_0-δ(\varepsilon)\) tampoco lo esté. Esto pasa si \(a > 0\) y \(c\circ f(x_0)\geq \varepsilon+(x_0)\geq-\varepsilon+c\). Si \(a < 0\) se invierten las desigualdades.

En esta escena interactiva modifica el control epsilon para observar la dependencia \(\delta(\varepsilon)\).

En el ejemplo de la siguiente escena interactiva, como la Imagen de la función es \( \mathbb{R}\), \(f(x_0)-\varepsilon\) siempre está bien definido para cualquier \(\varepsilon\).
En este caso, \(\delta\) es el mínimo entre \(|\sqrt[3]{\frac{\varepsilon-c+f(x_0)}{a}}+b-x_0|\) y \(|\sqrt[3]{\frac{-\varepsilon-c+f(x_0)}{a}}+b-x_0|\).

En esta escena interactiva modifica el control epsilon para observar la dependencia \(\delta(\varepsilon)\).

La Imagen de la función en el último ejemplo es \(\mathbb{R}\), pero pasa algo similar que en el caso de la parábola, \(f(x_0)-\varepsilon\) no está definida para \(a<0\) si \(|\varepsilon| < c-f(x_0)\). Lo mismo pasa para \(f(x_0)+ε\) para \(a > 0\).
En este caso, \(\delta\) es el mínimo entre \(|\ln \frac{-\varepsilon -c}{a}+b-x_0|\) y \(|\ln \frac{\varepsilon -c}{a}+b-x_0|\).

En esta escena interactiva modifica el control epsilon para observar la dependencia \(\delta(\varepsilon)\).

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# Créditos

## Escena original

Diseño del contenido | Elsa Sirenia Vega Camacho
Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho
Asesoría de programación | Leticia Montserrat Vargas Rocha
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

## Adaptación

Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho
Asesoría de programación | Leticia Montserrat Vargas Rocha
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

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La unidad didáctica fue creada con Arquímedes, una herramienta de código abierto.

La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.

LITE - UnADM 2015