# Definición formal de límite

## Límites de funciones no continuas

Finalmente mostraremos tres ejemplos de funciones que tienen las mismas características que los primeros dos ejemplos de funciones no continuas en la sección de Inicio.
Se trata de funciones con discontinuidades no removibles y cuyo límite no existe, pues cuando \(x\) tiende al valor en donde la función no está definida, \(f(x)\) ya sea oscila indefinidamente alrededor de dos valores distintos, o bien toma valores arbitrariamente grandes o arbitrariamente pequeños.
A partir de estos ejemplos veremos de manera intuitiva qué significan

\( \lim_{x \to x_0}=\infty \) y \( \lim_{x \to x_0}=-\infty \)

El primer ejemplo se trata de la función \[f(x)= \sin \left( \frac{1}{x-a} \right) \] donde \(x \neq a\) para que la función esté bien definida.
Mientras \(x\) se aproxima a \(a\), su recíproco \( \frac{1}/{x-a} \) crece sin límite y los valores de \(\sin \left(\frac{1}{x-a} \right)\) oscilan repetidamente entre \(-1\) y \(1\). No hay un único número \(L\) tal que los valores de la función se acerquen cada vez más a él mientras \(x\) se aproxima a \(a\). Esto pasa aunque se restrinjan los valores de \(x\) a valores positivos o a valores negativos. La función no tiene ni límite por la derecha ni límite por la izquierda.

En esta escena interactiva modifica el control a para observar cómo se modifica la gráfica. Luego mueve el punto \(x\), observa cómo cambia \(f(x)\) y verifica lo anterior. Puedes modificar también la escala y la ubicación del origen del plano cartesiano.

El segundo ejemplo se trata de la función \[f(x)= \frac{1}{x-b} \] Mientras \(x\) se aproxima a \(b\) por la derecha, es decir, \(x \to b\) y \(x>b\), \( \frac{1}{x-b} \) crece sin límite hasta eventualmente alcanzar y sobrepasar cualquier número real positivo. O sea, dado cualquier número real positivo \(B\), sin importar qué tan grande sea, los valores que toma \(f(x)\) son más grandes que \(B\) para \(x>b\) suficientemente cerca de \(b\). Por lo tanto \(f\) no tiene límite cuando \(x \to b^+\) y escribimos: \[\lim_{x \to b^+}f(x)=\infty \] Esto no significa que el límite existe ni que el límite es un número real \( \infty \), pues no existe tal número. Más bien estamos diciendo que \(\lim_{x \to b^+} \frac{1}{x-b} \) no existe porque \(\frac{1}{x-b} \) es arbitrariamente grande y positivo cuando \(x \to b^+\).

Cuando \(x \to b^-\), los valores de \(f(x)=\frac{1}{x-b} \)se vuelven arbitrariamente grandes y negativos. O sea, dado cualquier número real negativo \(-B\), los valores que toma \(f\) eventualmente están por debajo de \(-B\). Por lo tanto \(f\) no tiene límite cuando \(x \to b^-\) y escribimos: \[ \lim_{x \to b^-}f(x)=-\infty \] Nuevamente, esto no significa que el límite existe ni que el límite es un número real \(-\infty \). Estamos describiendo el comportamiento de una función cuyo límite cuando \(x \to b^-\) no existe, pues cuando \( x < b \) está sufiecientemente cerca de \(b\), los valores que toma \(f(x)\) son arbitrariamente grandes y negativos.

En esta escena interactiva modifica el control b para observar cómo se modifica la gráfica. Luego verifica lo anterior dando valores a \(B\) y moviendo el punto \(x\). Puedes modificar también la escala y la ubicación del origen del plano cartesiano.

El tercer ejemplo se trata de la función \[f(x)=\left( \frac{1}{x-c} \right)^2\] Intenta describir el comportamiento de \(f(x)\) cuando \(x\) se aproxima a \(c\).
Cuando \(x\) se aproxima a \(c\) por cualquier lado, los valores de \(\left( \frac{1}{x-c} \right)^2\) aumentan arbitrariamente, es decir que \[\lim_{x \to c}f(x)=\lim_{x \to c}\left( \frac{1}{x-c} \right)^2=\infty \] En este caso los límites laterales

\(\lim_{x \to c^+}f(x) \) y \(\lim_{x \to c^-}f(x)\)
son iguales, sin embargo el límite no existe, pues \(\left( \frac{1}{x-c} \right)^2\) es arbitrariamente grande y positivo cuando \(x \to c \).

En esta escena interactiva modifica el control c para observar cómo se modifica la gráfica. Luego verifica lo anterior dando valores a \(B\) y moviendo el punto \(x\). Puedes modificar también la escala y la ubicación del origen del plano cartesiano.

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# Créditos

## Escena original

Diseño del contenido | Elsa Sirenia Vega Camacho
Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho
Asesoría de programación | Leticia Montserrat Vargas Rocha
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

## Adaptación

Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho
Asesoría de programación | Leticia Montserrat Vargas Rocha
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

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La unidad didáctica fue creada con Arquímedes, una herramienta de código abierto.

La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.

LITE - UnADM 2015