# Cómo encontrar \(\delta \) dado \(\varepsilon \)

En la sección anterior vimos cuatro ejemplos de funciones discontinuas (o no continuas). Tres de los cuatro ejemplos muestran discontinuidades no removibles, pues no hay forma de redefinir una función de tal manera que incluya a la función en cuestión pero quitando la discontinuidad. Otro de los ejemplos es el de una discontinuidad removible: \[f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} e^x, & si & x \neq 1 \\ \\ 1, & si & x =1 \end{array} \right.\]
Esta discontinuidad es removible, pues la función \(g(x)=e^x\) es continua para toda \(x \in \mathbb{R} \), es decir, \(g(1)=e\) y no \(1\).
En la siguiente escena interactiva trataremos un ejemplo de una función con una discontinuidad removible y veremos cómo calcular su límite usando la definición formal.

\(¿\)Cómo demostramos que \[\lim_{x \to 1}f(x)=1\] si \[f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} x^2, & si & x \neq 1 \\ \\ 2, & si & x =1 \end{array} ?\right.\] Nuestra tarea es demostrar que dado \(\varepsilon >0 \), existe \(\delta >0\) tal que para toda \(x\) tal que \(0<|x-1|<\delta \) \(\Rightarrow \) \(|f(x)-1|<\varepsilon \).

Paso 1: resolver la desigualdad \[|f(x)-1|<\varepsilon \] para encontrar un intervalo abierto al rededor de \(x_0=1\) en el que la desigualdad se cumpla para toda \(x\neq x_0\).
Para \(x\neq x_0=1\) tenemos que \(f(x)=x^2\), entonces

\(|x^2-1|<\varepsilon \) \(\Leftrightarrow\) \( \sqrt{1-\varepsilon } < x < \sqrt{1+\varepsilon } \).
Observación 1: \( \varepsilon \) debe ser tal que \( 1-\varepsilon \geq 0\) y \( 1+\varepsilon \geq 0\).

Paso 2: encontrar un valor de \(\delta >0\) tal que el intervalo \( (1-\delta,1+\delta )\) esté contenido en el intervalo \( ( \sqrt{1-\varepsilon },\sqrt{1+\varepsilon } )\).
Tomamos \(\delta\) como la distancia de \(x_0=1\) al extremo más cercano del intervalo \((1-\delta,1+\delta )\), es decir \[\delta=min(1-\sqrt{1-\varepsilon } ,\sqrt{1+\varepsilon } -1)\] Observación 2: si \( \sqrt{1-\varepsilon } \) o \( \sqrt{1-\varepsilon } \) no está definida, tampoco lo está \(\delta\).
Si \(\delta\) es este mínimo o cualquier otro número menor, la desigualdad \(0<|x-1|<\delta \) va a colocar automáticamente a \(x\) entre \( \sqrt{1-\varepsilon } \) y \(\sqrt{1+\varepsilon } \) para hacer \(|f(x)-1|<\varepsilon \). Entonces, para toda \(x\) \[0<|x-1|<\delta ⇒|f(x)-1|<\varepsilon\] con lo que la demostración está terminada.
¿Por qué es suficiente tomar \(\varepsilon <1\)? Porque encontrando una \(\delta\) tal que para toda \(x\), \(0<|x-1|<\delta \) implica que \(|f(x)-1|<\varepsilon <1\), encontramos una \(\delta \) que también funciona para cualquier \(\varepsilon \) mayor.

Varía el valor de \(\varepsilon \), mueve el punto \(x_0\) y observa qué sucede en la gráfica. Puedes cambiar la escala y desplazar el origen del plano cartesiano.

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# Créditos

## Escena original

Diseño del contenido | Elsa Sirenia Vega Camacho
Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho
Asesoría de programación | Leticia Montserrat Vargas Rocha José Luis Abreu León
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

## Adaptación

Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho
Asesoría de programación | Leticia Montserrat Vargas Rocha
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

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La unidad didáctica fue creada con Arquímedes, una herramienta de código abierto.

La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.

LITE - UnADM 2015