# Definición formal de límite

## Cuándo un número L no es el límite de f(x)

En la escena anterior vimos un ejemplo de una función que tiene una discontinuidad removible. Como habíamos mencionado, hay discontinuidades que no son removibles.
Solemos referirnos a la discontinuidad del último ejemplo de la sección Inicio como discontinuidad de salto, y es este tipo de discontinuidad el que vamos a tratar en las siguientes dos escenas interactivas. Veremos cómo demostrar que un número \(L\) no es el límite de una función \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a \(x_0\) para una función con una discontinuidad de este tipo.

Podemos demostrar que \[\lim_{x \to x_0} f(x) \neq L\] dando una \(\varepsilon >0\) tal que ninguna \(\delta >0\) satisfaga la condición:

para toda \(x\), \(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \)
Logramos esto para nuestro candidato \(\varepsilon \) demostrando que para cada \(\delta >0\) existe un valor \(x\) tal que
\(0<|x-x_0|<\delta\) y \(|f(x)-L|\geq \varepsilon \).
Prueba con distintos valores de \(\varepsilon \) y de \( \delta \) que siempre se puede encontrar tal valor de \(x\).

En esta escena interactiva modifica el valor de \(\varepsilon \) y de \(\delta \) para que observes que siempre existe \(x\) tal que \(0<|x-x_0|<\delta\) y \(|f(x)-L|\geq \varepsilon \).

Sea \[f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} x,& si & x <1 \\ \\ x+1, & si &x>1 \\ \end{array} \right.\] y sea \(\varepsilon =\frac{1}{2}\). Demuestra que ninguna \( \delta >0 \) satisface la condición siguiente:

para toda \(x\), \(0<|x-1|<\delta \Rightarrow |f(x)-2|<\frac{1}{2}\)
Es decir, para cada \( \delta >0 \) demuestra que hay un valor de \(x\) tal que
\(0<|x-1|<\delta\) y \(|f(x)-2| \geq \frac{1}{2} \)
Esto demostrará que \[\lim_{x \to 1} f(x) \neq 2\] Ahora, usando este método, demuestra que:

1. \(\lim_{x \to 1}f(x) \neq 1\)
2. \(\lim_{x \to 1}f(x) \neq 1.5\)

En esta escena interactiva modifica el valor de \(\varepsilon \) y de \(\delta \) para que observes que siempre existe \(x\) tal que \(0<|x-x_0|<\delta\) y \(|f(x)-L|\geq \varepsilon \).

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# Créditos

## Escena original

Diseño del contenido | Elsa Sirenia Vega Camacho
Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho
Asesoría de programación | Leticia Montserrat Vargas Rocha
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

## Adaptación

Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho
Asesoría de programación | Leticia Montserrat Vargas Rocha
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

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La unidad didáctica fue creada con Arquímedes, una herramienta de código abierto.

La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.

LITE - UnADM 2015