# La circunferencia como lugar geométrico

## Parámetros básicos de la circunferencia

Como se mencionó en la introducción, la circunferencia es el conjunto de puntos que tienen igual distancia a un punto determinado. A este punto se le conoce como centro. Y a la distancia de cualquiera de los puntos a este centro se le conoce como radio.

¿Qué quiere decir matemáticamente que la distancia de cualquier punto en la curva al centro sea siempre la misma? Querría decir que, de todos los posibles puntos \((x,y)\) en el plano cartesiano, sólo algunos cumplen una propiedad particular. Esta propiedad es que el cuadrado de la distancia horizontal entre el punto \((x,y)\) y el centro más el cuadrado de la distancia vertical entre estos mismos puntos debe ser igual al cuadrado del radio. ¡Por supuesto, se trata del teorema de Pitágoras! Las coordenadas del centro normalmente se denotan como \((h,k)\) (es decir, \(h\) es el valor de las abscisas para el centro y \(k\) es el valor de las ordenadas para el mismo).

En el siguiente espacio interactivo observa un círculo en el plano cartesiano y nota cómo se puede deducir su ecuación.

Elige primero las coordenadas \((h,k)\) del centro de tu círculo, así como el radio, mediante los pulsadores correspondientes. Luego, avanza en la explicación con el botón 'Siguiente' o retrocede con 'Anterior'. Con el botón 'Otro' podrás generar un punto al azar que dista \(r\) unidades del centro que has elegido.

Como habrás notado, la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en \((h,k)\) y radio \(r\) se deduce del teorema de Pitágoras. Su forma es, como viste:

\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\]

Y su forma como ecuación general de segundo grado con 2 variables se obtiene de expandir dicha ecuación y reorganizar los términos por grado. Como vimos, es:

\[x^2+y^2-2hx-2hy+h^2+k^2-r^2=0\]

Algunos puntos que es importante notar son:

- La circunferencia centrada en el origen, al ser \(h\) y \(k\) ambos cero, se reduce, en su forma ordinaria, a \(x^2+y^2=r^2\). En su forma come ecuación de segundo grado en dos variables, es \(x^2+y^2-r^2=0\).
- Cuando la circunferencia no está centrada en el origen, entonces ya sea \(h\), o \(k\), o ambas serán distintas de cero. Esto implica que, en forma de ecuación de segundo grado con dos variables, habrá un término lineal ya sea de \(x\) o de \(y\). Por término lineal se entiende que la variable (por ejemplo, \(x\)) se encuentra elevada a la unidad, y no al cuadrado o a cualquier otro número. Estos términos no aparecen si la circunferencia está centrada en el origen.
- El pasar de la forma ordinaria a la ecuación general es sencillo. El proceso inverso requiere de un proceso más engorroso conocido como completar el cuadrado. No obstante, es útil, pues pasar la ecuación de una circunferencia a su forma ordinaria te permite de inmediato identificar las coordenadas del centro y el valor del radio.

## De la ecuación general de la circunferencia a la ordinaria

Hemos observado que la ecuación general es de la forma \(Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0\). En el caso particular de la circunferencia, la ecuación general toma la forma \(x^2+y^2+Cx+Dy+E=0\). Para pasar de la forma general a la ordinaria de la ecuación, se pueden seguir los siguientes pasos, que involucran completar el cuadrado para las \(x\) y para las \(y\) (como lo viste en la unidad sobre ecuaciones de segundo grado):

1. Para completar el cuadrado en \(x\): empezando con \(x^2+Cx\) en la fórmula, si se les añade el término para completar el trinomio cuadrado perfecto, puede acabarse expresando como algo de la forma \((x-h)^2\). Para ello, añadimos \((\frac{C}{2})^2\) obteniendo \(x^2+Cx+\frac{C^2}{2^2}\). De ahí que nuestro término factorizado (que involucra un binomio al cuadrado para \(x\)) es \((x-h)^2=(x+\frac{C}{2})^2\).
2. Nota que, para completar el cuadrado en \(x\), fue necesario sumar un término. Esto quiere decir que estamos alterando la igualdad. Para evitar alterarla, lo que sumemos, debemos restarlo. Como para completar el cuadrado en \(x\) acabamos sumando \(\frac{C^2}{4}\), debemos restarlo también.
3. Un abordaje similar para completar el cuadrado en la \(y\): empezando con \(y^2+Dy\) en la fórmula, si se les añade el término para completar el trinomio cuadrado perfecto, puede acabarse expresando como algo de la forma \((y-k)^2\). Para ello, añadimos dentro del paréntesis \((\frac{D}{2})^2\) obteniendo \(y^2+Dy+\frac{D^2}{2^2}\). De ahí que nuestro término factorizado (que involucra un binomio al cuadrado para \(y\)) es \((y-k)^2=(y+\frac{D}{2})^2\).
4. También debemos restar lo que agregamos para completar el cuadrado en \(y\), que fue \(\frac{D^2}{4}\).
5. De tal forma que nuestra ecuación general nos queda, en forma factorizada: \((x+\frac{C}{2})^2+(y+\frac{D}{2})^2+E-\frac{C^2}{4}-\frac{D^2}{4}=0\)
6. Pasamos los términos independientes restando al otro lado de la ecuación: \((x+\frac{C}{2})^2+(y+\frac{D}{2})^2=-E+\frac{C^2}{4}+\frac{D^2}{4}\).
7. Esta última ya es una ecuación de la circunferencia en forma ordinaria. De ella podemos notar que el valor de las abscisas para el centro es \(h=-\frac{C}{2}\) y que el valor de las ordenadas para el centro es \(k=-\frac{D}{2}\). Igualmente, podemos identificar que \(r^2=-E+\frac{C^2}{4}+\frac{D^2}{4}\), por lo que el radio es \(r=\sqrt{-E+\frac{C^2}{4}+\frac{D^2}{4}}\).

Ahora que ya has visto la relación entre la forma ordinaria y la ecuación general de segundo grado con dos variables de la circunferencia, puedes pasar de una a otra. Lo trabajoso es generalmente pasar de la general a la ordinaria, pero como has visto arriba, te servirá para obtener una forma en que puedes identificar fácilmente el centro y el radio de la circunferencia.

En la parte de ejercicios verás problemas tipo que involucran lo aprendido hasta ahora para su resolución.

Créditos y condiciones de uso
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# Créditos y condiciones de uso

Recurso elaborado para la unidad de enseñanza-aprendizaje Taller de Matemáticas de la Universidad Autónoma Metropolitana, unidad Cuajimalpa, en colaboración con el Laboratorio LITE de Innovación en Tecnología Educativa S.C.

- Autor de la unidad: Alejandro Radillo Díaz
- Revisión: Tine Stalmans

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La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.