# Demostración del teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es uno de los teoremas que más demostraciones tiene; algunas son informales y sencillas a tal grado que no se toman en cuenta principios matemáticos como la construcción de cuadrados, de rectas paralelas y perpendiculares, entre otras.

A continuación te proporcionamos dos de las muchas demostraciones que hay del teorema.

## Demostración formal

En el siguiente espacio se demostrará paso a paso y formalmente el teorema de Pitágoras. Sigue las instrucciones que se te proporcionan. Después del primer paso, observa bien lo que sucede con las áreas dibujadas.

## Demostración algebraica

Ahora observa la siguiente demostración algebraica del teorema.

Del lado derecho del siguiente dibujo se muestra un cuadrado de lado \(c\). Dicho cuadrado está formado por cuatro triángulos rectángulos y un cuadrado pequeño en el centro; los lados del triángulo son los catetos \(a\) y \(b\) y la hipotenusa \(c\), como se puede ver en la imagen del lado izquierdo.

Nuestra demostración consiste en comparar el área del cuadrado de lado \(c\) con la suma de las áreas de todas las figuras que lo componen, es decir: la suma del área de los 4 triángulos más el área del cuadrado pequeño debe ser igual al área del cuadrado grande.

Elaboremos ahora las expresiones algebraicas de las áreas mencionadas y hagamos el desarrollo algebraico:

1. El área de un cuadrado se obtiene elevando uno de los lados al cuadrado, por lo que el área del cuadrado de lado \(c\) es \( c^2\).
2. Para obtener el área de las figuras que componen el cuadrado, debemos sumar el área de los 4 triángulos más el área del cuadrado pequeño. Puesto que los 4 triángulos son idénticos, basta con obtener el área de uno de ellos y multiplicarlo por 4. Así tenemos \( 4(\frac{ab}{2})\). Para obtener el área del cuadrado pequeño necesitamos saber cuánto mide uno de sus lados; este dato se puede obtener a partir del dibujo y equivale a la resta \((b-a)\); por ende, el área del cuadrado pequeño está dada como (\(b-a)^2\).
3. Tenemos entonces que las áreas a comprar son \( c^2\) y \( 4(\frac{ab}{2}) + (b-a)^2 \). Igualando estas expresiones obtenemos: \( c^2\ = 4(\frac{ab}{2}) + (b-a)^2 \)
4. Se cancela el coeficiente 4 con el 2 del divisor: \( c^2\ = 2ab + (b-a)^2 \)
5. Desarrollamos el binomio: \( c^2\ = 2ab + b^2 -2ab + a^2 \)
6. Identificamos términos semejantes: \( c^2\ = 2(ab) -2ab + b^2 + a^2 \)
7. Reducimos y obtenemos el teorema: \( c^2\ = a^2 + b^2 \)

Como ya se mencionó, existen muchas demostraciones del teorema de Pitágoras, tanto numéricas como formales. Ahora que ya conoces el teorema y viste cómo puede comprobarse, veremos algunas de las numerosas aplicaciones que tiene este importante teorema.

Créditos y condiciones de uso
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# Créditos y condiciones de uso

Recurso elaborado para la unidad de enseñanza-aprendizaje Taller de Matemáticas de la Universidad Autónoma Metropolitana, unidad Cuajimalpa, en colaboración con el Laboratorio LITE de Innovación en Tecnología Educativa S.C.

- Autor de la unidad: Víctor Hugo García Jarillo
- Revisión: Tine Stalmans

Inclusión de escena(s) interactiva(s) desarrollada(s) para el proyecto Pizarra Digital Interactiva 2.0 del Ministerio de Educación de España.

- Coordinación: José Luis Abreu León
- Propuesta y diseño de plantillas: Óscar Escamilla González, Deyanira Monroy Zariñán y Natàlia Roca Castellà
- Programación: Óscar Escamilla González

Adaptación a DescartesJS realizada en el marco del proyecto LITE 2013 y financiada por CONACyT.

- Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo, Deyanira Monroy Zariñán
- Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Óscar Escamilla González, Joel Espinosa Longi

Los contenidos de esta unidad didáctica interactiva están bajo una licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual.

La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.